数学概率中的常见分布类型

在概率论与统计学中，随机变量的概率分布可以分为两大类：离散型概率分布和连续型概率分布。以下是这些常见分布的详细介绍。

一、离散型概率分布

离散型随机变量只能取有限个或可数无穷个值。

1. 伯努利分布 (Bernoulli Distribution)

• 描述：一次试验只有两种可能结果（成功/失败，1/0）的分布。
• 参数：p（一次试验中“成功”的概率）。
• PMF：P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k}, for k=0,1
• 期望：E[X] = p
• 方差：Var(X) = p(1-p)
• 应用：抛一次硬币（正面/反面）、一次射击是否命中、产品是否合格。

2. 二项分布 (Binomial Distribution)

• 描述：在 n 次独立的伯努利试验中，“成功”次数 k 的分布。
• 参数：n（试验次数），p（每次试验成功的概率）。
• PMF：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^{n-k}
• 期望：E[X] = np
• 方差：Var(X) = np(1-p)
• 应用：抛10次硬币得到正面的次数、100件产品中的次品数。

3. 泊松分布 (Poisson Distribution)

• 描述：在单位时间或空间内，某个随机事件发生次数的分布。其特点是事件的发生是独立且低概率的。
• 参数：λ（单位时间/空间内事件发生的平均次数）。
• PMF：P(X=k) = (λ^k * e^{-λ}) / k!
• 期望：E[X] = λ
• 方差：Var(X) = λ
• 应用：一小时内到达加油站的车辆数、一页书中的印刷错误数。

4. 几何分布 (Geometric Distribution)

• 描述：在独立的伯努利试验中，第一次出现“成功” 所需要的试验次数 k 的分布。
• 参数：p（每次试验成功的概率）。
• PMF：P(X=k) = (1-p)^{k-1} * p
• 期望：E[X] = 1/p
• 方差：Var(X) = (1-p)/p^2
• 应用：抛硬币直到第一次出现正面所需的次数。

二、连续型概率分布

连续型随机变量可以取某一区间内的任何值。

1. 均匀分布 (Uniform Distribution)

• 描述：在区间 [a, b] 内，取任何一点的概率都相等的分布。
• 参数：a（下限），b（上限）。
• PDF：f(x) = 1/(b-a) for a ≤ x ≤ b
• 期望：E[X] = (a+b)/2
• 方差：Var(X) = (b-a)^2/12
• 应用：轮盘赌指针停留的位置、随机到达公交站台的等待时间。

2. 正态分布 (Normal Distribution)

• 描述：最重要的连续分布，俗称“钟形曲线”。许多自然现象都近似服从该分布。
• 参数：μ（均值），σ（标准差）。
• PDF：f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^{-(x-μ)^2/(2σ^2)}
• 期望：E[X] = μ
• 方差：Var(X) = σ^2
• 应用：考试成绩分布、测量误差、人群身高体重分布。

3. 指数分布 (Exponential Distribution)

• 描述：描述泊松过程中事件发生的时间间隔的分布。具有无记忆性。
• 参数：λ（事件发生的速率）。
• PDF：f(x) = λe^{-λx} for x ≥ 0
• 期望：E[X] = 1/λ
• 方差：Var(X) = 1/λ^2
• 应用：灯泡的寿命、客服电话的间隔时间。

总结对比表

分布名称	类型	主要参数	描述与应用场景
伯努利分布	离散	p	单次试验，两种结果（成功/失败）
二项分布	离散	n, p	n次独立重复试验的成功次数
泊松分布	离散	λ	单位时间/空间内稀有事件的发生次数
几何分布	离散	p	首次成功所需的试验次数
均匀分布	连续	a, b	区间内等概率取值
正态分布	连续	μ, σ	连续随机变量的“标准”分布，应用极广
指数分布	连续	λ	泊松事件的时间间隔，具有无记忆性